《高尔顿板是正态分布？NO。近似罢了》

《高尔顿板是正态分布？NO。近似罢了》

作者：阿睿睿

一颗小球从高尔顿板顶端落下，每遇到一个钉子，就有一半概率向左、一半概率向右。经过多层后，小球在底部的槽中堆成了一个漂亮的钟形。我们常常说：

“看，这就是正态分布！”

但，真的是吗？——并不完全。

咦？仔细看那张高尔顿板的图，钉子上居然标了数字。这些数字不是随便写上去的——它们恰好组成了我们熟悉的杨辉三角。

从顶端落下一颗小球，每遇到一个钉子，它都有两种选择：向左或者向右。如果我们在每个钉子的位置，数一数“有多少条不同的路径能到这里”，结果就正好是杨辉三角的每一个数字。

第一层，只有 1 条路径（当然）；
第二层，左右各 1 条；
第三层，中间的钉子可以从左上或右上两条路径到达，所以是 2；
再往下，路径数依次变成 1、3、3、1……——这不就是杨辉三角的行列式样吗？

换句话说，高尔顿板上每个钉子下方的数字，其实是一个组合数：

表示从上到第 (n) 层、第 (m) 个位置（从左数）的小球，可能有多少条路径到达这里。

而因为每次左右选择的概率相等，一颗球最终落在底部第 (m) 个槽中的概率，就是该位置路径数除以所有路径总数：

这正是著名的 二项分布（Binomial Distribution） 的形式：

高尔顿板，原来是一个「物理化的杨辉三角」；
而杨辉三角，则是二项分布的几何化表达。

前面我们看到，高尔顿板底部第 (m) 个槽的小球概率，可以用二项分布表示：

为什么这个离散分布看起来像正态分布呢？关键在于二项分布本质上是独立伯努利试验之和。
设每层落球的结果为伯努利随机变量 (Y_i)：

那么小球最终落在底部的总位置可以表示为这些伯努利变量的和：

这正是二项分布的定义。

根据中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT），当试验次数 (n-1) 很大时，独立随机变量的和经过标准化后会逼近标准正态分布：

因此，二项分布可以用正态分布近似：

这就是为什么高尔顿板底部小球堆积的分布，看起来像钟形曲线——
它并非天然正态，而是大量独立随机事件累积的极限形态。

哎呀，实际中不可能每次碰钉子都是左右概率完全相等的吧？可能因为摩擦、轻微偏斜或者钉子排列不完美，向左和向右的概率 (p) 和 (1-p) 会略有不同。

如果向右概率为 (p ≤ 0.5)，每次伯努利试验仍然可以表示为：

小球最终位置仍然是这些独立试验的和：

分布不再对称，会出现轻微偏斜，其偏度（skewness）为：

随着层数 (n) 增大，偏度逐渐减小，因此即使左右概率不一样，大量独立随机事件累加的结果仍然会近似正态分布：

所以，高尔顿板即使轻微倾斜或者左右概率不完全相等，最终落球分布仍呈钟形，只是会偏向概率较大的一边。